Conjuntos matemáticos – Teoría básica

Criptomanía | Conjuntos matemáticos. Conjuntos, grupos, anillos y cuerpos o campos. Sigue leyendo para saber más.

En este breve artículo, vamos a describir, sin dar ningún detalle concreto, los términos propios de la “teoría de conjuntos matemáticos” que necesitamos conocer para nuestra serie de artículos “Criptografía de Curva Elíptica: Una introducción formal”.

La teoría de conjuntos es una rama de las matemáticas que estudia las propiedades y relaciones de los conjuntos.

En matemáticas, un conjunto es una colección de elementos considerada en sí misma como un objeto. Los elementos de un conjunto, pueden ser las siguientes: personas, números, colores, letras, figuras, etc.

conjuntos matematicos

Se dice que un elemento (o miembro) pertenece al conjunto si está definido como incluido de algún modo dentro de él.

Conjuntos matemáticos – Ejemplos

Ejemplo: el conjunto de los colores del arcoíris.

A = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil, Violeta}

Un conjunto suele definirse mediante una propiedad que todos sus elementos poseen. Por ejemplo, para los números naturales, si se considera la propiedad de ser un número primo, el conjunto de los números primos es:

P = {2, 3, 5, 7, 11, 13,…}

Un conjunto queda definido únicamente por sus miembros y por nada más. En particular, un conjunto puede escribirse como una lista de elementos, pero cambiar el orden de dicha lista o añadir elementos repetidos no define un conjunto nuevo. Por ejemplo:

S = {Lunes, Martes, Miércoles, Jueves, Viernes} = {Martes, Viernes, Jueves, Lunes, Miércoles}

A = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil, Violeta} = {Amarillo, Naranja, Rojo, Verde, Violeta, Añil, Azul}

Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos. El conjunto de los números naturales es infinito, pero el conjunto de los planetas en el Sistema Solar es finito (tiene ocho elementos). Además, los conjuntos pueden combinarse mediante operaciones, de manera similar a las operaciones con números.

Los conjuntos son un concepto primitivo, no es posible definirlos con términos más técnicos. Por lo que su estudio puede realizarse de manera informal, apelando a la intuición y a la lógica.

Conjuntos matemáticos – Subconjuntos

Una vez podemos definir estos conjuntos con otras características comunes,

  • Conjunto”: Una colección de elementos.
  • Grupo”: Una colección de elementos para los que podemos definir una operación. La suma.
  • Anillo”: Colección de elementos para los que podemos definir dos operaciones. Suma y multiplicación.
  • Cuerpo”: O campo. Anillo para el cual podemos definir la operación inversa a la multiplicación: la división.

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Todos los “cuerpos” o “campos” son “anillos. Todos los “anillos” son grupos. Y todos los grupos son conjuntos.

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Ingeniero mecánico, redactor e inversor FinTech. Apasionado del mundo de las criptodivisas y las aplicaciones de las diferentes blockchains.

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